Física Quântica 62 - O Que São Batimentos Quânticos?

O Que São Batimentos Quânticos?

por Osvaldo Pessoa Jr.

No texto, “A Pirâmide Dupla da Molécula de Amônia” (veja aqui), exploramos um sistema que exibe batimentos quânticos. O que é isso?

Comecemos com um exemplo da física ondulatória clássica, associado ao som produzido por um instrumento musical. Há programas simples na web onde se podem gerar sons continuos de diferentes timbres, como o NCH Tone Generator, utilizado para fins didáticos: http://www.nch.com.au/action/tnsetup.exe .

Com este programinha, podemos gerar um som puro, como o de 440 Hertz (440 oscilações sonoras por segundo). Podemos também gerar simultaneamente dois sons de frequências puras, por exemplo 440 e 445 Hz.

Ao escutarmos esses dois sons simultaneamente, ouvimos uma oscilação de batimento, um UAUAUAUA, que oscila 5 vezes por segundo. Se o par escolhido for 440 e 441 Hz, a oscilação de batimento terá 1 Hz, ou seja, oscilará uma vez por segundo. 

É possível entender esse fenômeno auditivo considerando que o som é uma onda mecânica (ou de pressão) no ar. Na figura abaixo, vemos duas ondas de comprimento de onda levemente diferentes (ou seja, frequências diferentes), e abaixo vemos a soma dessas duas ondas.

A onda resultante tem uma frequência que é a média das frequências anteriores, mas há um envelope nessa onda que oscila na frequência de batimento, que é a diferença (ou seja, a subtração) entre as duas frequências originais.

É este envelope que gera o som de UAUAUAUA.

Há um efeito visual semelhante ao dos batimentos sonoros, conhecido como padrão moiré, onde a palavra “moiré”, vinda do francês, se pronuncia “moarê”.

Na figura abaixo, vemos dois padrões de linhas paralelas, com espaçamento levemente diferente. Os dois padrões primários têm a mesma largura total L, mas o de cima tem 34 linhas por L, ao passo que o de baixo tem 31.

A diferença entre os dois é 3, o que corresponde ao número de linhas do padrão moiré na largura L.

Vemos assim o que são os batimentos: a geração de um padrão de frequência mais baixa, a partir da superposição de dois padrões de oscilação semelhantes, mas levemente distintos.

No domínio da Física Quântica, batimentos podem ser detectados quando um átomo está em uma superposição de estados energéticos diferentes.

No texto, “Os estados dos elétrons nos átomos” (veja aqui), vimos que um estado de um átomo pode se desdobrar em um conjunto de subníveis de energias distintas. Considere a figura abaixo, representando os subníveis energéticos de um átomo de bário colocado em um campo magnético (efeito Zeeman).

O estado fundamental do átomo corresponde ao elétron externo no nível 6s (números quânticos n=6, L=0, m=0).

Devido ao campo magnético, o próximo nível acessível a este elétron, 6p (com L=1), passa a ser dividido em três linhas de energia levemente diferentes, cada qual associado a um componente de momento angular diferente (m = –1, 0, 1).

Um feixe de radiação infravermelha é então direcionado ao átomo. Esta radiação eletromagnética é semelhante à luz visível, mas tem um comprimento de onda menor.

Sendo gerado por um laser, o comprimento de onda do infravermelho pode ser sintonizado no valor de 4,3 nanômetros, o que faz o elétron ganhar exatamente a energia do 0,36 eV, que o faz saltar para o nível 6p.

Além deste truque de sintonizar o laser na frequência (ou comprimento de onda) desejada, há um outro truque, que é produzir um pulso de laser bem curto, que dura apenas 1 picossegundo, ou seja, um trilionésimo de segundo (“10 elevado a –12” segundos).

Levando em conta a relação de incerteza entre energia E e tempo t (delta-E vezes delta t > h), temos que a indeterminação na energia transmitida ao elétron é em torno de 0,004 eV, o que é cem mil vezes maior do que o espaçamento entre os três níveis 6p.

Isso significa que o átomo é preparado em uma superposição de estados com energia bem definida.

Consideremos então que o átomo está preparado numa superposição de dois subníveis, um com m = – 1 e o outro com m = 1. Podemos representar este estado por |PSI? = exp[it(E+)/h] |m=1? + exp[it(E–)/h] |m=–1? .

Ficou um pouco complicado, mas neste caso não tem como fugir de uma fórmula!

Notamos que há dois termos, e que cada um é multiplicado por um “exponencial imaginário” envolvendo duas energias diferentes, (E+) e (E–). O nome “imaginário” se refere ao número i, que é a raiz quadrada de –1.

Quando se toma o exponencial de um número imaginário multiplicado pelo tempo t, isso resulta em uma onda contínua de frequência E/h (na verdade, deixei de fora um fatorzinho 2 pi).

Enfim, o aspecto importante deste estado |PSI? é que ele envolve dois termos que oscilam a frequências diferentes, (E+)/h e (E–)/h. E daí?

E daí que, para medir a energia do átomo, devemos esperar ele decair para o estado fundamental 6s, e aí medir a energia ou frequência da luz emitida.

Cada elétron que decai permitirá a detecção de um único fóton no infravermelho. Podemos preparar bilhões de átomos de bário no mesmo estado |PSI?, e assim detectar milhares de fótons emitidos.

Qual é o estado da luz emitida no decaimento do estado |PSI? para o estado fundamental? Nesta caso, consideremos cada um dos termos de |PSI? em separado. O primeiro termo é exp[it(E+)/h] |m=1?.

A luz emitida do estado |m=1? para o estado fundamental, que tem m=0, será circularmente polarizada no sentido anti horário, ou seja, |POL.+1?; a luz emitida pelo estado |m=–1? será circularmente polarizado no sentido horário, ou seja, |POL.–1?.

Como o estado inicial |PSI? é uma superposição desses dois autoestados, o estado da luz emitida também será uma superposição, com os mesmos coeficientes, ou seja, |PSI-luz? = exp[it(E+)/h] |POL.+1? + exp[it(E–)/h] |POL.–1? .

E agora? Como medimos o estado de polarização da luz? Através de polarizadores, como vimos no texto “Um obstáculo pode aumentar o vazamento?”.

Se usarmos um filtro de polarização circular, orientado para deixar passar apenas a luz de sentido antihorário, todos os fótons detectados corresponderão à energia bem definida (E+). Se o filtro for orientado para deixar passar apenas a luz de sentido horário, os fótons corresponderão à energia (E–).

Medimos assim, em cada caso, uma energia bem definida. Isso significa que o átomo estava em um estado de energia bem definida?

Segundo a interpretação da complementaridade, sim, pois podemos aplicar o procedimento conhecido como “retrodição” (no texto “Retrodição é especulação?”.

Mas segundo a interpretação ondulatória, não, pois o estado inicial é a superposição |PSI?, que não tem energia bem definida. (Para um resumo dessas interpretações, ver o texto, “Por que há tantas interpretações da teoria quântica?”.

Agora, o que aconteceria se, ao medirmos a luz, ao invés de usar filtros de polarização circular, tivéssemos usado os convencionais filtros de polarização linear, a 0° e 90°?

Para fazer o cálculo, é preciso escrever |PSI-luz?, visto acima, em termos de outra base de autoestados, aquela envolvendo os autoestados de polarização linear |POL.0°? e |POL.90°?.

Para fazer a transformação, basta considerar que |POL.+1? = |POL.0°? + |POL.90°?, e |POL.–1? = |POL.0°? – |POL.90°?, onde um coeficiente igual a “1 dividido por raiz de 2” multiplica os termos do lado direito das igualdades.

Ao se calcular, enfim, a probabilidade de detecção quando o filtro de polarização a 0° é colocado, obtém-se um termo proporcional ao cosseno da diferença das frequências, (E+)/h – (E–)/h, multiplicado por t. Isso corresponde a uma oscilação de batimento!

Na figura abaixo, temos o resultado de um experimento efetuado por Dodd & Series (1976) para o cádmio.

O experimento consistia na irradiação dos átomos de cádmio com um pulso de laser. Após um certo tempo T, abria-se uma curta janela de contagem e contava-se quantos fótons (polarizados a 0°) chegavam ao detector.

O experimento foi repetido várias vezes, e cada vez tomava-se um tempo T diferente, variando em 1/30 de microssegundo. Por exemplo, quando T é 1,0 microssegundo, contaram-se em torno de 2000 fótons.

A curva final apresenta uma oscilação, que revela a frequência de batimento de aproximadamente 3 picos em 2,6 microssegundos, ou seja, 1,2 megahertz.

Como a frequência de batimento é a diferença entre as frequências (E+)/h e (E–)/h, podemos calcular a diferença de energia entre os subníveis atômicos a partir do gráfico: delta-E = 5 bilionésimos de eV (ou seja “5 vezes 10 elevado a menos 9”).

Isso pode ser comparado com a diferença de energia do caso do bário, visto duas figuras atrás.

No caso do experimento de batimentos quânticos, a interpretação da complementaridade não associa uma energia bem definida ao átomo. Neste caso, ela concorda com a interpretação ondulatória.

Em suma, experimentos de batimentos quânticos permitem medir precisamente pequenas diferenças de energia atômica, nos casos em que um estado de superposição quântica coerente, sem energia bem definida, existe no sistema atômico.

Se não houver superposição de energia das ondas de um elétron, não haverá batimento.

Veremos, no texto seguinte, que batimentos quânticos foram recentemente detectados em moléculas biológicas!

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