Física Quântica 57 - Superposição de Amplitudes na Quântica e na Genética

Superposição de Amplitudes na
Quântica e na Genética

por Osvaldo Pessoa Jr.

Um dos conceitos centrais em qualquer ramo da física que trata de ondas é o conceito de superposição de amplitudes (às vezes chamado de “sobreposição”).

Suponha que tenhamos dois feixes de onda F1 e F2 que provieram da mesma fonte coerente, e que tenham mantido essa coerência (ou seja, os “sobes e desces” dos dois feixes continuam ocorrendo em sincronia, sem terem sido borrados pela ação do meio). Isso ocorre tipicamente em um experimento de fenda dupla.

As intensidades de cada onda, F1 e F2, detectadas separadamente em uma tela fosforescente, estão indicadas na figura abaixo:

Olhando para padrão de intensidade obtido por cada feixe, qual seria o padrão resultante quando os dois feixes caem ao mesmo tempo na tela de detecção? Poderíamos supor que seria a mera soma R das intensidades F1 e F2:

No entanto, esta suposição está errada! Para prever o padrão de intensidade resultante é preciso trabalhar com as amplitudes das ondas, não as intensidades!

A amplitude A é a raiz quadrada da intensidade I em cada ponto x: I(x) = A(x)². O que se somam não são as intensidades, mas as amplitudes!

Esta relação entre a intensidade (energia) e a amplitude ocorre também no caso de uma mola oscilante. Se eu esticar um peso, preso por uma mola, até uma amplitude A, e solto, ele oscilará com energia igual a ½ kA², que é o análogo da intensidade.

Porém, neste caso, duas molas oscilando com mesma energia podem estar, no mesmo instante, em posições diferentes, como na figura abaixo. Elas estariam em fases diferentes do movimento, ou seja, teriam “fases” diferentes.

Voltando ao exemplo da soma de ondas, a descrição das amplitudes de cada onda contém também informação sobre a fase de cada onda.

Essa informação desaparece quando se eleva a amplitude ao quadrado. Isso é expresso matematicamente considerando que a intensidade é o “módulo quadrado” da amplitude: I(x) = ?A(x)?².

As barrinhas verticais indicam que a fase da amplitude é ignorada ao escrever a intensidade.

Quando duas ondas se superpõem, a informação sobre suas fases relativas é importante para calcular o resultado final.

Se uma estiver um pouco mais adiantada do que a outra, em seu “sobe e desce”, o resultado será diferente do que no caso em que ela não está adiantada.

Assim, para calcular a intensidade resultante, é preciso primeiro somar as amplitudes levando em conta as fases relativas, e só depois calcular o módulo quadrado: R(x) = ?f1(x) + f2(x)?², onde f1(x) é a raiz quadrada da intensidade F1 multiplicada por um “fator de fase”, geralmente expresso por um número complexo.

Ao se somarem as duas amplitudes complexas, das ondas parciais, obtém-se a amplitude final, cujo módulo quadrado é a intensidade (energia). No caso do experimento da fenda dupla, a intensidade medida na tela é algo assim:

Esses resultados da Física Ondulatória Clássica foram incorporados na Mecânica Quântica em 1925, a partir do trabalho de Heisenberg, e um pouco depois na abordagem de Schrödinger.

No entanto, é curioso que a importância das amplitudes já tinha se tornada clara três anos antes, em outra área da ciência: a Genética.

Em 1922, o grande matemático e biólogo Ronald A. Fisher buscava distinguir populações em termos de seus traços genéticos, e percebeu que a abordagem matemática correta seria utilizar não as probabilidades dos diferentes alelos genéticos, mas a raiz quadrada destas probabilidades, ou seja, as amplitudes de probabilidades.

Em 1980, o físico William Wootters desenvolveu uma abordagem semelhante para distinguir populações de sistemas quânticos, a partir do ângulo entre os estados que representam essas populações no espaço de vetores de estado (espaço de Hilbert).

Essa história é contada por John Wheeler, em entrevista no excelente livreto The Ghost in the Atom (1986), editado por Davies & Brown.

Podemos explorar as semelhanças entre a genética e a física quântica imaginando duas pessoas de famílias completamente diferentes que se casam.

Podemos determinar a “distância” genética entre elas, comparando cada par de genes que elas carregam. Suponhamos que elas se casem e tenham dois filhos.

A distância genética entre os filhos pode variar: ela pode ser nula, no caso de gêmeos univitelinos, ou pode ser máxima, igualando-se à distância entre os pais.

No caso quântico, a relação genética entre os pais é análoga à relação de ortogonalidade entre dois auto-estados quânticos (por exemplo, spin para cima e spin para baixo, ou o átomo localizado no ponto 1 e no ponto 2).

Quando um casal tem uma filha, seu estado genético pode ser expresso como uma “superposição” dos estados dos pais. O segundo filho seria uma superposição diferente, com coeficientes de superposição diferentes.

Quando iniciamos o estudo da física quântica, temos a tendência de considerar que um auto-estado é fundamentalmente diferente de uma superposição de autoestados.

Depois, aprendemos que esta diferença não é fundamental, mas se refere à base que tomamos como referência. Isso pode ser ilustrado, na foto da família, imaginando que os filhos podem ser considerados os pais.

Se a distância genética dos filhos for máxima, igualando-se à dos pais (ou seja, os filhos são completamente diferentes), então um casamento entre eles pode levar a dois descendentes que tenham exatamente o código genético dos pais!

Ou seja, a figura abaixo poderia representar corretamente uma família (ignorando o tamanho dos bigodes!).

Isso seria análogo ao caso quântico. Spin na direção (e sentido) +x é a superposição de spin na direção +z e na direção –z, mas, de maneira simétrica, spin na direção +z é a superposição de spin na direção +x e na direção –x.

Nenhuma das duas descrições é superior: a que é mais útil é aquela em que a base de estados se identifica com os auto-estados do observável que o cientista resolveu medir.

Essa proximidade entre a física quântica (e toda física ondulatória) e a genética sempre me atraiu, porque seria um ponto de aproximação entre o meu trabalho de filósofo da física e o de meu pai, o geneticista Oswaldo Frota-Pessoa, falecido em 2010, e que aparece de óculos na foto da família.

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